شرح احتمالات الأحداث المتنافية

[أم أمير]

بنكمل آخر درس في الاحتمال واللي هو احتمالات الأحداث المتنافية



الأحداث المتنافية يعني الأحداث اللي ما بينها تقاطع
والأحداث غير المتنافية يعني الأحداث اللي بينها تقاطع
ولازم نعرف إن لما نتكلم عن الأحداث المتنافية وغير المتنافية فاحنا قاعدين نتكلم عن الحرف أو
بمعنى آخر قاعدين نتكلم عن اتحاد الحدثين


أمثلة:
1. عند رمي حجر نرد مرة واحدة، حدث ظهور عدد زوجي أو عدد فردي
الأعداد الزوجية 2،4،6
والأعداد الفردية 1،3،5
ما في بينهم شي مشترك .. إذن الحدثان متنافيان

2. عند رمي حجر نرد مرة واحدة، حدث ظهور عدد زوجي أو عدد أصغر من 3
الأعداد الزوجية هي 2،4،6
والأعداد اللي أصغر من 3 هي 1،2
بما أن في بينهم عدد مشترك واللي هو 2 .. إذن الحدثان غير متنافيان

3. إذا كان عندنا جوائز 5 أقلام، 9 ساعات، 11 عطر . احتمال اختيار قلم أو ساعة أو عطر
بما أن ما في شي مشترك بين القلم والساعة والعطر .. إذن الأحداث متنافية

4. لما بنختار شخص من الصف الثاني الثانوي أو يبدأ اسمه بحرف الميم
في احتمال إن اللي بنختاره من الصف الثاني ثانوي يبدأ اسمه بحرف الميم .. إذن الحدثان غير متنافيان


اتمنى فهمنا الفرق بين الأحداث المتنافية وغير المتنافية


(مرفق ملف PDF للشرح)


يتبــع

[أم أمير]

نبدأ باحتمالات الأحداث المتنافية

مثال1: عند رمي حجر نرد مرة واحدة ما احتمال ظهور عدد أصغر من 3 أو عدد أكبر من 4
عناصر الفضاء = {1،2،3،4،5،6} .. عددهم 6
الأعداد اللي أصغر من 3 هي {1،2}
الأعداد اللي أكبر من 4 هي {5،6}

بما أن ما في تقاطع بينهم .. إذن الأحداث متنافية
وطبعا قلنا قبل أو يعني اتحاد الحدثين .. بالعربي كلهم على بعض عددهم جم << عددهم 4
احتمال (عدد أصغر من 3 أو عدد أكبر من 4) = 4 ÷ 6

خلونا نرسم التجربة باستخدام أشكال فن
نرسم مستطيل لفضاء العينة .. وداخل المستطيل نرسم دوائر للأحداث
إذا كان في تقاطع بين الأحداث نقاطع الدوائر
وإذا ما في شي مشترك نخلي كل دائرة بروحها
نحط في الدوائر نتائج كل حدث .. والمتبقي من الفضاء نخليهم في المستطيل




ممكن نوجد احتمال الأحداث المتنافية باستخدام القانون


خلونا نطبق القانون في مثالنا
جم عدد أصغر من 3 << 2 من أصل 6
جم عدد أكبر من 4 << 2 من أصل 6
إذن احتمال العدد أصغر من 3 أو أكبر من 4




يتبــع

[أم أمير]

مثال2: سحبت بطاقة من مجموعة بطاقات عددها 20 مرقمة من 1 إلى 20، ما احتمال الحصول على عدد يقبل القسمة على 5 أو عدد يقبل القسمة على 7

الأعداد التي تقبل القسمة على 5 ={5،10،15،20}
الأعداد التي تقبل القسمة على 7 = {7،14}
بما أن ما فيهم بينهم شي مشترك .. إذن الأحداث متنافية

احتمال (عدد يقبل القسمة على 5 أو عدد يقبل القسمة على 7) =
احتمال(عدد يقبل القسمة على 5) + احتمال(عدد يقبل القسمة على 7)





مثال3: اختير لاعب عشوائيا لفريق كرة السلة من بين 35 طالب من الصف الأول الثانوي ، و30 طالب من الصف الثاني الثانوي، و25 طالب من الصف الثالث الثانوي.
ما احتمال أن يكون الطالب المختار من الصف الأول الثانوي أو الثاني ثانوي؟
بما أن ما في تقاطع بين الصف الأول والثاني الثانوي << اللي في الصف الأول أكيد ما بكون في الصف الثاني
إذن الحدثان متنافيان





يتبــع

[أم أمير]

ننتقل إلى الأحداث غير المتنافية

مثال:عند سحب بطاقة من مجموعة بطاقات مرقمة من 1 إلى 10. ما احتمال ظهور عدد أولي أو عدد يقبل القسمة على 3

الأعداد الأولية هي {2،3،5،7}
الأعداد التي تقبل القسمة على 3 هي {3،6،9}
بما أن رقم 3 مشترك بين الحدثين .. إذن الحدثان غير متنافيان

اتحاد الحدثين يعني كلهم على بعض ..
لكن لما نخلطهم مع بعض بنكون كررنا العدد 3 مرتين .. معناتها لازم نشيله مرة

الأعداد كلهم على بعض بدون ما نكرر المشترك جم << 6
إذن احتمال ظهور عدد أولي أو عدد يقبل القسمة على 3 = 6 ÷ 10


خلونا نرسم شكل فن للتجربة



إذا عدينا الأعداد اللي في الدائرتين مع بعض بكون عددهم 6 من أصل 10


الخلاصة: احتمال الأحداث غير المتنافية = مجموع احتمال كل حدث ناقص احتمال تقاطع الحدثين



إذا طبقنا القانون في مثالنا
احتمال الحصول على عدد أولي أو عدد يقبل القسمة على 3 =
احتمال(العدد أولي) + احتمال(يقبل القسمة على 3) – احتمال (العدد أولي ويقبل القسمة على 3)






يتبــع

[أم أمير]

الحدث المتمم
لو كان عندي حدث A فالحدث المتمم بكون كل شي ما عدا A

مثال1:إذا كان نسبة نجاح طالب في مقرر الرياضيات 80% فاحتمال رسوبه هو؟
احتمال الرسوب = 20%

قانون الحدث المتمم



مثال2:إذا كان احتمال إصابة هدف ما 0.6 فما احتمال عدم إصابة الهدف؟
احتمال عدم اصابة الهدف = 1 – 0.6 = 0.4

--------------------------------------------------------

في بعض الكلمات تستخدم في المسائل لازم نعرف تفسيرها عشان نحل السؤال

احتمال وقوع أحد الحدثين على الأقل =

يعني واحد منهم أو اثنينهم << بمعنى آخر احتمال وقوع A أو B



احتمال وقوع أحد الحدثين على الأكثر =

يعني الحدثين ما يكونون ويا بعض .. يا واحد منهم يا ولا شي
بمعنى آخر كل شي ما عدا تقاطعهم



وعندنا قانونين لازم نعرفهم




-----------------------------------------------------------

مثال: إذا كان احتمال أن يصيب صياد A هدف هو 0.6 واحتمال أن يصيب صياد آخر B نفس الهدف هو 0.75 أوجد
احتمال أن لا يصيب الصياد A الهدف.



احتمال أن لا يصيب الصياد B الهدف.



احتمال أن يصيب كليهما الهدف (احتمال أن يصيب A وB الهدف).
إصابة الهدفين معا يعني تقاطع الحدثين
وبما أنهم حدثين مستقلين << إصابة الصياد الأول للهدف لا تؤثر في إصابة الصياد الثاني للهدف نفسه
إذن احتمال التقاطع = حاصل ضرب احتمال الحدثين



احتمال أن يصيب أحدهما على الأقل الهدف.





احتمال أن يصيب أحدهما على الأكثر الهدف.




احتمال عدم إصابة الهدف (احتمال أن لا يصيب A وB الهدف).


حل آخر



يتبــع

[أم أمير]

مثال2: عدد طلاب الصف الثالث الثانوي في مدرسة 100 طالب. حضر حفل التخرج النهائي 91% منهم
إذا اختير طالبان عشوائيا من طلاب الصف كلهم، فما احتمال أن يكون أحدهما على الأقل لم يحضر الحفل؟
احتمال أن يكون أحدهما على الأقل لم يحضر الحفل<< يعني واحد ما حضر أو اثنينهم ما حضروا
يعني المطلوب



وبما أن اختيار الطالب الأول بأثر في اختيار الطالب الثاني
يعني لما اختار الأول بختاره من أصل 100 طالب
لكن لما بختار الطالب الثاني بختاره من أصل 99 طالب
إذن الحدثان غير مستقلان .. يعني احتمال التقاطع = احتمال الأول في احتمال الثاني بعد حدوث الأول




بالتالي








------------------------------------------------------------

مثال3: إذا كانت نسبة الذين يساهمون في إعادة التصنيع في إحدى الدول 31% إذا اختير شخصان عشوائيا من مجموعة، فما احتمال أن يساهم أحدهما على الأكثر في إعادة التصنيع؟
احتمال أن يساهم أحدهما على الأكثر في إعادة التصنيع = << يا واحد يا ولا شي







تــم بعون الله

تمنياتي للجميع بالتوفيق :)

[fatom]

كنت ابحث عن زاوية اضع فيها إعجابي بما تقدمينه لهذا الصرح الشامخ

فشكرا لك بحجم السماء و اكبر على كل ما تقدمينه

[رَمــَــــــآدْ]

معلمة آهني بـآلـآلوآن طآلعين آحلـآ

مشكورة و يعطيج آلعـآفية

مـآ تقصرين

. . .

طبعنـآهم من زمـآن

[زهرة البنفسج]

مشكوورهـ
يعطيج العآآفيهـ

[عزرائيلة]

شكراً معلمة ماتقصرين .. ونتمنى المزيد من التمارين في ع الأقل و ع الأكثر ..!

عآزفة أهم شيء عبارة الملتقى فيهم >> علّقت ع صفحة من الصفحات كاتبة فيها مدرسة سار مو الملتقى الطلابي

[Dr.Abdullah]

مشكورة والله انك ابدعتي ونسال الله العلي القدير ان يجعل هذا في ميزان حسناتك

[دموع الشموع]

مشكووووووووووووورة معلمة
عالمجهود المبذول
الله يعطيك العافية
وعطيتين المقرر أكثر من المطلوب

[طالبة العهد الزاهر]

مشكووووووووووووورة أم أمير

يعطيش العافية خيتوو

[BaR!i8 AmAl]

مشكورة جزيل الشكر إستاذة
مجهود ولا أروع ..
مجهود جبار ،،
الله يعطيك ألف ألف ألف عافية ..
في ميزان حسناتك يا الغالية

[الكوثر]

مشكووووووووووووووووووووووورة